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Las teorías son conjuntos de oraciones cerradas bajo implicación lógica (y presumiblemente conjunción). Estas oraciones son expresiones dentro de un lenguaje particular L.

Si una teoría está completa, entonces cada oración expresable en el lenguaje L está probada o refutada en una teoría. Es decir, si una oración P puede expresarse, entonces existe una prueba, como una cadena de oraciones que implican "implicación", por la cual P puede determinarse como verdadero o falso.

Si una teoría es consistente, entonces para cada oración P en L, SE PUEDE probar P o No-P, pero no ambas. En otras palabras, ¡no se permiten contradicciones!

Una teoría no puede ser ni completa ni consistente, completa pero no consistente (alguna teoría de galimatías en la que todo es verdad, por ejemplo), consistente pero no completa (una teoría en la que hay algunas cosas que podemos decir pero nunca probar), o tanto completos como consistentes, aunque los Teoremas de incompletitud de Godel imponen restricciones bastante estrictas sobre qué teorías pueden ser tanto completas como consistentes.